Théorème de Thalès et calcul littéral

Exercice 1 — Calcul littéral (6 points)

On considère l’expression A = (2x − 3)² − (x + 1)(2x − 3), où x désigne un nombre réel.

1. 1.Développer et réduire A.2 pts
2. 2.Factoriser A.2 pts
3. 3.Résoudre l’équation A = 0.1,5 pt
4. 4.Calculer A pour x = 5.0,5 pt

Exercice 2 — Théorème de Thalès (8 points)

Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre et les points A, M, N sont alignés dans cet ordre. Les droites (BM) et (CN) sont parallèles. On donne AB = 4 cm, AC = 6 cm, AM = 5 cm et BM = 3 cm.

1. 1.Construire la figure en vraie grandeur.1,5 pt
2. 2.Justifier que le théorème de Thalès s’applique, puis écrire l’égalité des trois rapports.2 pts
3. 3.Calculer les longueurs AN et CN.2,5 pts
4. 4.On place P sur [AB] tel que AP = 2,4 cm et Q sur [AM] tel que AQ = 3 cm. Les droites (PQ) et (BM) sont-elles parallèles ? Justifier.2 pts

Exercice 3 — Application : hauteur d’un mur (6 points)

Le sol est horizontal. Un piquet [BC] de hauteur BC = 1,50 m est planté verticalement en B. Un mur [DE] est vertical, son pied D est au sol. Un élève place son œil au point A du sol, sur la droite (BD), avec AB = 2 m et AD = 9 m. Les points A, C et E sont alignés.

1. 1.Justifier que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.1 pt
2. 2.Écrire l’égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette configuration.1,5 pt
3. 3.Calculer la hauteur DE du mur.2 pts
4. 4.Exprimer DE en fonction de AD lorsque AB = 2 m et BC = 1,50 m, puis calculer DE pour AD = 12 m.1,5 pt

Exercice 1

1. 1.(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 et (x + 1)(2x − 3) = 2x² − x − 3. Donc A = 4x² − 12x + 9 − 2x² + x + 3 = 2x² − 11x + 12.2 pts
2. 2.Le facteur commun est (2x − 3) : A = (2x − 3)[(2x − 3) − (x + 1)] = (2x − 3)(x − 4).2 pts
3. 3.Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : 2x − 3 = 0 donne x = 1,5 ; x − 4 = 0 donne x = 4. Les solutions sont 1,5 et 4.1,5 pt
4. 4.A = (2 × 5 − 3)(5 − 4) = 7 × 1 = 7.0,5 pt

Exercice 2

1. 1.Figure attendue : deux demi-droites de sommet A, B et C sur la première, M et N sur la seconde, (BM) et (CN) tracées parallèles. Longueurs AB = 4 cm, AC = 6 cm, AM = 5 cm et BM = 3 cm respectées.1,5 pt
2. 2.Les droites (BC) et (MN) sont sécantes en A, et (BM) est parallèle à (CN) : le théorème de Thalès s’applique. On obtient AB/AC = AM/AN = BM/CN.2 pts
3. 3.AB/AC = 4/6 = 2/3. De AM/AN = 2/3 on tire AN = 5 × 3/2 = 7,5 cm. De BM/CN = 2/3 on tire CN = 3 × 3/2 = 4,5 cm.2,5 pts
4. 4.AP/AB = 2,4/4 = 0,6 et AQ/AM = 3/5 = 0,6. Les deux rapports sont égaux et les points sont placés dans le même ordre sur les deux demi-droites : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (PQ) est parallèle à (BM).2 pts

Exercice 3

1. 1.Le piquet et le mur sont tous deux verticaux, donc perpendiculaires au sol horizontal : (BC) et (DE) sont parallèles.1 pt
2. 2.Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A et (BC) est parallèle à (DE), donc AB/AD = AC/AE = BC/DE.1,5 pt
3. 3.BC/DE = AB/AD = 2/9, donc DE = 1,50 × 9/2 = 6,75 m. Le mur mesure 6,75 m de hauteur.2 pts
4. 4.DE = BC × AD/AB = 1,50 × AD/2 = 0,75 × AD (en mètres). Pour AD = 12 m, DE = 0,75 × 12 = 9 m.1,5 pt