Champ magnétique et force de Laplace

Exercice 1 — Champ magnétique créé par deux fils (6 points)

Deux fils rectilignes très longs, verticaux et parallèles, percent un plan horizontal en A et en C avec AC = 20 cm. Ils sont parcourus par des courants de même intensité I₁ = I₂ = 10 A. On note M le milieu de [AC]. On prend μ₀ = 4π × 10⁻⁷ S.I. et on néglige le champ terrestre.

1. 1.Rappeler l’expression de la valeur du champ magnétique créé par un fil rectiligne très long, à la distance d de ce fil.1 pt
2. 2.Calculer la valeur du champ créé en M par chacun des deux fils.2 pts
3. 3.Les deux courants circulent dans le même sens. Déterminer la direction, le sens et la valeur du champ résultant en M.2 pts
4. 4.Reprendre la question précédente lorsque les deux courants circulent en sens contraires.1 pt

Exercice 2 — Force de Laplace (8 points)

Une tige conductrice MN, homogène, de masse m = 12 g et de longueur L = 20 cm, est suspendue horizontalement par deux fils conducteurs verticaux de masse négligeable. Elle est placée dans un champ magnétique uniforme B⃗, horizontal et perpendiculaire à MN, de valeur B = 0,20 T. Un courant d’intensité I traverse la tige. On prend g = 9,8 N/kg.

1. 1.Faire un schéma et représenter le champ B⃗, le sens du courant I et la force de Laplace F⃗. Préciser la règle utilisée.1,5 pt
2. 2.Donner l’expression de la valeur F de la force de Laplace, puis la calculer pour I = 2 A.2 pts
3. 3.À l’équilibre, les fils font un angle α avec la verticale. Établir la relation tan α = F / (mg).2 pts
4. 4.Calculer α pour I = 2 A.1,5 pt
5. 5.Quelle intensité faudrait-il imposer pour obtenir α = 30° ?1 pt

Exercice 3 — Proton dans un champ magnétique (6 points)

Un proton de masse m = 1,67 × 10⁻²⁷ kg et de charge q = 1,6 × 10⁻¹⁹ C entre en O avec la vitesse v₀ = 2,0 × 10⁵ m·s⁻¹, perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de valeur B = 0,10 T. Le poids du proton est négligeable devant la force magnétique.

1. 1.Montrer que le mouvement du proton est uniforme.1,5 pt
2. 2.Montrer que la trajectoire est un cercle et établir l’expression de son rayon R.2 pts
3. 3.Calculer R.1,5 pt
4. 4.Calculer la période T du mouvement.1 pt

Exercice 1

1. 1.B = μ₀ I / (2π d), la direction étant tangente au cercle d’axe le fil passant par le point considéré.1 pt
2. 2.Chaque fil est à la distance d = AC/2 = 0,10 m de M. B₁ = B₂ = (4π × 10⁻⁷ × 10) / (2π × 0,10) = 2,0 × 10⁻⁵ T.2 pts
3. 3.En M, les deux champs ont la même direction, perpendiculaire à (AC) dans le plan horizontal, la même valeur 2,0 × 10⁻⁵ T, mais des sens opposés. Le champ résultant est nul : B = 0 T.2 pts
4. 4.Avec des courants de sens contraires, les deux champs ont le même sens et s’ajoutent : B = 2 × 2,0 × 10⁻⁵ = 4,0 × 10⁻⁵ T, perpendiculaire à (AC) dans le plan horizontal, le sens étant donné par la règle de la main droite.1 pt

Exercice 2

1. 1.B⃗ est horizontal et perpendiculaire à la tige, I circule de M vers N, F⃗ est perpendiculaire à B⃗ et à la tige, donc horizontale. Le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite.1,5 pt
2. 2.F = B I L sin 90° = B I L = 0,20 × 2 × 0,20 = 8,0 × 10⁻² N, soit 0,080 N.2 pts
3. 3.La tige est soumise à son poids P⃗ (vertical, valeur mg), à la force de Laplace F⃗ (horizontale) et à la tension T⃗ des fils, portée par les fils. À l’équilibre, P⃗ + F⃗ + T⃗ = 0⃗. En projetant : T sin α = F et T cos α = mg, d’où tan α = F / (mg).2 pts
4. 4.mg = 0,012 × 9,8 = 0,118 N. tan α = 0,080 / 0,118 = 0,680, donc α ≈ 34,2°.1,5 pt
5. 5.F = mg tan 30° = 0,118 × 0,577 = 6,8 × 10⁻² N, puis I = F / (B L) = 0,068 / (0,20 × 0,20) ≈ 1,7 A.1 pt

Exercice 3

1. 1.La force magnétique F⃗ = q v⃗ ∧ B⃗ est constamment perpendiculaire à la vitesse. Sa puissance est nulle, donc l’énergie cinétique est constante et la valeur de la vitesse reste égale à v₀ : le mouvement est uniforme.1,5 pt
2. 2.Le mouvement est plan, dans le plan perpendiculaire à B⃗ passant par O. La force, perpendiculaire à v⃗, est purement normale, donc l’accélération se réduit à a_n = v₀² / R. La deuxième loi de Newton donne q v₀ B = m v₀² / R, soit R = m v₀ / (q B), constant : la trajectoire est un cercle.2 pts
3. 3.R = (1,67 × 10⁻²⁷ × 2,0 × 10⁵) / (1,6 × 10⁻¹⁹ × 0,10) ≈ 2,1 × 10⁻² m, soit 2,1 cm.1,5 pt
4. 4.T = 2πR / v₀ = 2π m / (q B) ≈ 6,6 × 10⁻⁷ s.1 pt