Suites numériques, fonction exponentielle et probabilités

Exercice 1 — Suites numériques (6 points)

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = ½ u_n + 3.

1. 1.Calculer u₁ et u₂.1 pt
2. 2.On pose v_n = u_n − 6. Montrer que (v_n) est géométrique de raison ½.2 pts
3. 3.Exprimer v_n, puis u_n, en fonction de n.2 pts
4. 4.En déduire la limite de la suite (u_n).1 pt

Exercice 2 — Fonction exponentielle (8 points)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x − 1)e^x. On note (C) sa courbe représentative.

1. 1.Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.2 pts
2. 2.Calculer f ′(x) et dresser le tableau de variations de f.3 pts
3. 3.Écrire l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0.1,5 pt
4. 4.Construire (C) dans un repère orthonormé, unité 2 cm.1,5 pt

Exercice 3 — Probabilités (6 points)

Dans une classe de 80 élèves, 48 sont des filles. Trente élèves suivent l’option Physique, dont 12 filles. On interroge un élève au hasard.

1. 1.Calculer la probabilité que ce soit une fille.1,5 pt
2. 2.Calculer la probabilité qu’il suive l’option Physique sachant que c’est un garçon.2,5 pts
3. 3.Les événements « être une fille » et « suivre l’option Physique » sont-ils indépendants ? Justifier.2 pts

Exercice 1

1. 1.u₁ = ½ × 2 + 3 = 4 ; u₂ = ½ × 4 + 3 = 5.1 pt
2. 2.v_n+1 = u_n+1 − 6 = ½ u_n − 3 = ½ (u_n − 6) = ½ v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison ½, de premier terme v₀ = − 4.2 pts
3. 3.v_n = − 4 × (½)ⁿ, donc u_n = 6 − 4 × (½)ⁿ.2 pts
4. 4.(½)ⁿ tend vers 0, donc u_n tend vers 6.1 pt

Exercice 2

1. 1.En −∞, par croissances comparées, f(x) tend vers 0. En +∞, f(x) tend vers +∞.2 pts
2. 2.f ′(x) = e^x + (x − 1)e^x = x e^x. f ′ est du signe de x : f décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[, minimum f(0) = − 1.3 pts
3. 3.f(0) = − 1 et f ′(0) = 0. La tangente a pour équation y = − 1.1,5 pt
4. 4.Courbe passant par (0 ; −1) et (1 ; 0), asymptote horizontale y = 0 en −∞, croissance rapide après x = 1.1,5 pt

Exercice 3

1. 1.p(F) = 48 / 80 = 0,6.1,5 pt
2. 2.Il y a 32 garçons, dont 30 − 12 = 18 en Physique. p(Ph | G) = 18 / 32 = 0,5625.2,5 pts
3. 3.p(F) × p(Ph) = 0,6 × 30/80 = 0,225, alors que p(F ∩ Ph) = 12 / 80 = 0,15. Les deux événements ne sont pas indépendants.2 pts